机器学习-趣学贝叶斯统计：量化

概率理论不仅仅是一个数学概念，更是一种对随机性和不确定性的理解方式。通过量化我们对事件发生的信念，我们能够更准确地预测和解释各种现象。在本章中，我们将探讨事件概率与信念概率，为我们的理论和分析工具箱增添新的维度。

事件概率

计算概率最常见的方法是对事件结果计数。对事件来说，有两组结果很重要。第一组是一个事件（event）的所有可能结果（事件概率）。第二组是你感兴趣的结果的计数（信念概率）。

计算机通常将“真”表示为1，将“假”表示为0。概率同样可以使用这个模型：P(X=0)等同于X=假，P(X=1)则等同于X为真。在0和1之间，存在无限多可能的取值。概率值接近0意味着我们更确定某件事情为假，而概率值接近1则意味着我们更确定某件事情为真。值得注意的是，概率为0.5意味着完全不能确定某件事情是真还是假。

举例:
就以掷硬币这个简单例子来说，可能的结果是硬币落地后正面朝上或反面朝上。第一步是对所有可能的事件进行统计，在这个例子中，有两个：出现正面或出现反面
Ω = { 正面，反面 } \Omega={\{正面，反面\}} Ω={ 正面，反面}
P ( 正面 ) = { 正面 } { 正面 , 反面 } P(正面)=\frac{ \{正面\}} {\{正面,反面\}} P(正面)={ 正面,反面}{ 正面}​
复杂版：
掷2枚硬币时，至少出现一个正面的概率是多少？
$$\Omega =\{(正面，正面)，(正面，反面),(反面，反面)，(反面，正面)\}$$
为了计算出至少出现一个正面的概率，需要确认有多少组合符合条件：
$$(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面)$$
我们关心的事件集合中有3个元素，所有可能的组合则有4种。所以：
$$P(正面)=\frac{3}{4}$$

信念概率

定义：度量事件稳健性。“我在多大程度上相信下一次掷硬币会出现正面”。
前提：
$$1-P(x)=\neg P(x)$$
举例：

曼德拉效应

“曼德拉效应”：人们的记忆被混淆。以为他入狱去世，其实他出狱后当了南非总统，2013年才去世。
$$\frac{P(H没有相关文章)}{P(H有相关文章)}=20$$

计算：

①$1-P(H有相关文章)=P(H没有相关文章)$

② $\frac{P(H没有相关文章)}{P(H有相关文章)}=\frac{100}{5}=20$

(1)解不等式，保留P(H没有相关文章）

P(H有相关文章)=1-P(H没有相关文章)

(2)把P(H有相关文章)代入②
解得：
P(H没有相关文章)=$\frac{20}{21}$

(3)抽象化：

$$P(H)=\frac{O(H)}{1+O(H)}=20$$

符号O(H)通常表示"Hypothesis H的几率比"或者"Hypothesis H的几率(odds)”

投硬币

前提：
① H(正面)=H(反面)
②P(H正面)=1-P(H反面)

用①②计算：
$\frac{P正面}{P反面}$

我认为结果为正面的可能性是为反面的可能性的多少倍

结果:$\frac{1}{2}$
验证了$$P(H)=\frac{O(H)}{1+O(H)}=20$$

小练习

(1) 对于两个六面骰子的情况，点数之和大于7的组合有：(2,6), (3,5), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)。总共有14种组合。骰子的总共可能组合为6 * 6 = 36。因此，概率为：

$$P(点数之和大于7)=\frac{14}{36}$$

(2) 对于三个六面骰子的情况，点数之和大于7的组合有很多，但我们可以通过列举出来并计算其概率。类似地，总共可能组合为 (6^3)。计算这些组合的概率将给出所需的结果。

(3) 纽约洋基队与波士顿红袜队这两支职业棒球队正在比赛。你是波士顿红袜队的铁杆粉丝，并和朋友打赌他们会赢。如果波士顿红袜队输了，你会给朋友30美元；而如果他们赢了，朋友则给你5美元。请问，直觉上你认为波士顿红袜队会赢的概率有多大？

本题中波士顿红袜队会赢的概率是通过考虑赔率来估计的

$$P(波士顿红袜队赢)=\frac{5}{30+5}=\frac{1}{7}$$

总结

本章探讨了两种不同类型的概率：事件的概率和信念的概率。我们将概率定义为我们所关心的结果与所有可能结果的数量之比。